朋友你知道什么是暴力破解吗？
过C D做AB的垂线。面积比等于垂线长的比。如果AB平行于CD，则垂线长相等，得证。
否则 不失一般性，假设延长AB DC交于O。设 OC=x, OB=y, AB=c, BC=a, CA=b, DA=d, DB=e,DC=f。垂线之比= x/(x+f)，所以只要证明 x/f 是有理数，即得证。
对角O做4次余弦公式，为简单 定义 cos O = s。
a^2=x^2+y^2-2xys
b^2=x^2+(c+y)^2-2x(c+y)s
e^2=(x+f)^2+y^2-2(x+f)ys
d^2=(x+f)^2+(c+y)^2-2(x+f)(c+y)s
第一个等式可得
s=(x^2+y^2-a^2)/(2xy)
代入e^2，可消去y一次项，得
y^2=x^2+(f^2+a^2-e^2)x/f + a^2
再把 s 和 y^2 代入 b^2，得
y=((f^2+a^2-e^2)cx/f + 2ca^2)/(b^2-a^2-c^2)
然后 s 代入 d^2-e^2 得到
d^2-e^2=2cy+c^2-c(x+f)(x^2+y^2-a^2)/xy
把 y 和 y^2 代入，最后得到
(f^2+a^2-e^2)x/f + 2a^2)(d^2-e^2-b^2+a^2)/(b^2-a^2-c^2) = -2 x/f * f^2 - (f^2+a^2-e^2)
注意最后的式子是 x/f 的一次方程，而所有系数都是有理数，所以解一定是有理数。得证。
一个问题是，b^2-a^2-c^2=0的情况没有定义。好解决，上面的只是思路，要去掉除法的问题，只要把它保留在等式另一边就行了，只有乘法。最后 b^2-a^2-c^2=0 的情况就会变成 d^2-e^2-b^2+a^2=0 或 (f^2+a^2-e^2)x/f + 2a^2=0，后者仍然可得x/f是有理数，至于前者则会导致 d^2-e^2-c^2=0，角ABC和ABD都是直角，BCD共线不可能。所以总之 x/f 是有理数。
