正态分布(Normal distribution),也称“常态分布”,又名高斯分布(Gaussian distribution),最早由棣莫弗(Abraham de Moivre)在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布,记为N(μ,σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
正态分布的一些性质:
(1)如果 且a与b是实数,那么 (参见期望值和方差)。
(2)如果 与 是统计独立的正态随机变量,那么:
它们的和也满足正态分布
它们的差也满足正态分布
U与V两者是相互独立的。(要求X与Y的方差相等)。
(3)如果和是独立正态随机变量,那么:
它们的积XY服从概率密度函数为p的分布
其中是修正贝塞尔函数(modified Bessel function)
它们的比符合柯西分布,满足
(4)如果为独立标准正态随机变量,那么服从自由度为n的卡方分布。
一起来愉快地复习数学吧