找到所有符合f[(1-xy)f(x)]+x²f(y)=f(x), x,y ∀ R的表达式（f:R→R）。
我查了一下，在初中教学大纲内。
出自某预备队选拔考试
总结：这道题似乎过于简单，才半天就出现好几个答案了。

答案一（未超出初中教学大纲）
代入x=y=1
得到f(0)=0

假设f(k)=0, k≠0
代入x=k
得到k²f(y)=0⇒f(y)=0

代入y=[f(x)-x]/[xf(x)]（为了把左边的那一串和右侧的消掉）
化简后得到f(x)=x

答案二（未超出初中教学大纲）
先代两遍（=f(x)和x）
再化简后分两种情况算（等于和不等于0）

答案三：5楼(拉尔瓦) （似乎有些不太严谨？）
赋值y＝x，得f(x)＝x

答案四：9楼(　)（我查了一下好像计算 f( f(x) ) = f(x)这部分超纲了）
首先带入 x=y=1，得到
f(0)+f(1)=f(1)
所以f(0)=0。
然后带入 y=0，得到
f( f(x) ) = f(x)
显然 f(x)=x。

答案五：11楼(dmxlord)（正确，很清晰，可惜也超纲了）




例如：
f(x)=0就是一个符合条件的。


榜单
不干正事的Hotaruishi：1（#2）
dmxlord：1（#3）
　：1（#3）
拉尔瓦：1（#3）

---

你这个表达方式也是初中的吗？我都没看懂。

刚刚似乎有bug 显不出来

函数我忘了，找时间学习吧

编辑一下，不误导大家了。只要满足f(0)=0且 x²f(1/x)=f(x) （x≠0）的都算。

一眼正比例函数，其他的另说
赋值y＝x，得f(x)＝x

这题我会，开导

离大谱 坛里除了想找的资源没有 剩下没有看不到的

对不起我是废物

说正比例函数的都是错的。
你带入 f(x)=kx，左边是
k(1-xy) kx + x^2 ky
=k^2 x - k^2 x^2 y + k x^2 y,
右边是
k x
显然不一样。

实际结果只有一个， f(x)=x。

首先带入 x=y=1，得到
f(0)+f(1)=f(1)
所以f(0)=0。
然后带入 y=0，得到
f( f(x) ) = f(x)
显然 f(x)=x。
算是相当简单的题了。

引用

引用第5楼8ef4c500于2021-12-02 11:31发表的  :
一眼比例函数，其他的另说
赋值y＝x，得f(x)＝x

这也是个方法，但是不严谨。必须证明 (1-x^2)f(x)的值域也是 R，否则只能得到 f(x)=x在 (1-x^2)f(x) 的值域范围内成立。对于某些函数完全有可能 (1-x^2) f(x) 无法取到所有实数，是一个漏洞。必须证明这种情况不存在。

不清楚

下一题预告：证明三角形面积比是有理数

我认为楼主公布的答案中只有答案一是正确而且严谨的。（答案二我不太明白怎么代   ）
11楼的老哥（dmxlord）虽然看起来正确但是g(x)=g(1/x)实在无法推出g(x)=C（常数），
例如g(x)可以等于x+1/x，x^2+1/x^2，|x-1/x|，|ln x|，|log_a(x)|
（正如你说的那样，只要满足g(x)=h(x)+h(1/x)或g(x)=h(x)h(1/x)均可，换句话说h(x)不管取什么函数都能使g(x)=g(1/x)）
另外由ff(x)=f(x)可以推出对于一切x属于f(R)（其中f(R)是f(x)所有可能取得的值的集合）满足f(x)=x，
（因为若设y=f(x)，将y代入ff(x)=f(x)，得f(y)=y，但是y只能取遍f(R)上的值）
不过我不确定题中f:R to R具体是什么意思 ，是说f(R)=R还是f(R)属于R？
如果f(R)=R通过上述ff(x)=f(x)的性质可以推出f(x)只能为x，如果f(R)仅仅属于R的话好像难以求出结果 至少有f(x)=x和f(x)=0两个结果
总之答案一应该符合出题人的意思

是的，这是一道竞赛的预备队的选拔题（初中的） 所以会有这样的解答方法。f：R to R是说这个函数fx的值域和定义域。11楼的应该是因为可以看出来是个直线函数。

高考数学，刚及格      高数成绩踩线过